مسئله های کوتاه ترین مسیر و بیشینه جریان در شبکه ها با افزودن سود و زیان

در این پایان نامه شبکه هایی با سود ها و زیان های تجمیعی روی قوس ها بررسی می شود طوری که برای هر قوس موجود در شبکه تابع g(x)تعریف می گردد که بنابر علامت g(x) نوع قوس (سود آور یا اتلاف گر) مشخص می شود. در این نوع شبکه ها دو مدل وجود دارد: مدل مسیر و مدل جریان. برخی خاصیت های اساسی کوتاه ترین مسیر در مدل مسیر مظالعه شده و نشان داده می شود که مسئله کوتاه ترین مسیر در این مدل np-سخت است و در زمان شبه چندجمله ای برای هزینه ها و سود های نامنفی با برنامه ریزی پویا حل می شود. هر دو مسئله کوتاه ترین مسیر و جریان بیشنه در این شبکه ها np-سخت هستند. اما با استفاده از الگوریتم ادموندز-کارپ می توان نشان داد و مسئله جریان بیشینه خروجی در شبکه های تجمیعی با زیان واحد در زمان چند جمله ای حل می شود. در شبکه های تجمیعی، در همه گره ها به جز مبدا و مقصد بقای جریان وجود دارد در صورتی که قوس ها به این صورت نیستند. یک تابع سود روی قوس ها جریان را افزایش یا کاهش می دهد، اگر x>0 واحد جریان وارد قوس a شود آنگاه x+g(a) واحد خارج می شود که g(a) سود یال a در شبکه تجمیعی نامیده می شود برای هر قوس a تابع سود g_a وجو دارد طوری که اگرx واحد وارد a شود(x) g_a واحد خارج می شود. مقدار جریان باید در آخر هر قوس در هر دو حالت، سود و زیان نامنفی باشد و g_a(0)=0 نشان می دهد جریان و سود وجود ندارد. یک قوس سود دهنده و افزایش دهنده جریان است هرگاه g_a(x)-x >0 و اتلاف گر است هرگاه g_a (x)-x<0. هر قوس برای هر واحد جریان ورودی، دارای ظرفیت و هزینه است. شبکه هایی با سود و زیان کاربرد های زیادی به ویژه در تحلیل های مالی و انتقال اطلاعات دارند. سود و زیان ها تغییرات کالا را توسط تبخیر گاز ها و مایع ها و توسط نرخ سود روی سهام بیان می کنند. با سود و زیان های ضربی یعنی با تابع های سود خطی، مقداری از جریان روی یک قوس با در صد معینی تغییر می کند. چنین شبکه هایی تعمیم یافته گفته می شود. کاربردهای بسیاری با سود و زیان های خطی، خصوصا تابع های سود و تجمیعی وجود دارد. در انتقال کالاها یا مایعات، مقدار ثابتی از کالا ممکن است در اثر دزدی یا نشت یا تلفات از بین می رود که به معنی زیان تجمیعی است. کاربرد عمده از تابع های سود در معاملات مالی در تجارت دیده می شود. در اینجا توابع خطی، تجمیعی، و حتی توابع پیچیده برای توصیف هزینه های معامله در معاملات مالی، تبادل پول، و خرید و فروش سهام استفاده می شود. وقتی همه تغییرات قیمت و هزینه ها در نظر گرفته شوند، سیاست سرمایه گذاری بهینه به عنوان کوتاه ترین مسیر یا مسئله بیشینه جریان در شبکه هایی با سود ها و زیان ها قالب بندی می شود.